Propriété des exposants

Rappel :  5*5*5*….*5 = 5ⁿ

                    n fois

Première propriété: a^m • aⁿ = a^{m + n}

        Exemples:

·        5⁴ • 5⁵ = 5^{4 + 5} = 5⁹

·        8⁷ • 8^-2 = 8^{7 + (-2)} = 8⁵  

Démonstration :

Lorsque l’on additionne des chiffres identiques, c’est comme multiplier ce chiffre par le nombre de fois qu’on l’additionne.

5+5 =  2*5

        5+5+5=  3*5

        5+5+5+5= 4*5

Pour la multiplication des chiffres identiques, l’exposant correspond au nombre de fois qu’on le multiplie.

            5*5 = 5²

            5*5*5 = 5³

            5*5*5*5 = 5⁴

Alors si on multiplie

            5² * 5⁴ = 5*5*5*5*5*5 = 5⁶

On additionne tout simplement les exposants et la base ne changent pas autrement dit : 

5² * 5⁴ = 5²⁺⁴ = 5⁶

Donc, on remarque que l’addition et la multiplication travail ensemble.

Deuxième propriété: a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}

Exemples:

·        5⁸ ÷ 5⁴ = 5^{8 - 4} = 5⁵

·        8⁴ ÷ 8^-2 = 8^{4 - (-2)} = 8^{4 + 2} = 8⁶

Démonstration :

5⁸ ÷ 5⁴ =  5*5*5*5*5*5*5*5 = 5⁴

                  5*5*5*5

Donc, on remarque que la soustraction et la division travail ensemble

Troisième propriété: (a^m)ⁿ = a^mxn

Exemples:

·        (5⁸)³ = 5^8x3 = 5²⁴

·        (3⁴)² = 3^4x2 = 3⁸

Démonstration :

(5⁸)³ =  (5⁸) x (5⁸) x (5⁸)  =  5⁸⁺⁸⁺⁸   Selon la première propriété

                     3 fois

                                           =  5²⁴

Quatrième propriété:

Exemples:

·         =  =

Démonstration :

 =  x  x   =   =  =

Cinquième propriété: b^{-m  =} 

^{Avec un exposant négatif, on inverse la base et on met un signe positif à l’exposant.}

Exemples:

·        5^-3 =  =  =

·         =  =  =

Démonstration :

On sait que  5² ÷ 5⁵ = 5^-3

5² ÷ 5⁵ = =  =  =      ^Donc  5² ÷ 5⁵ = 5^-3 =

Dernière mise à jour effectuée le 2 décembre 2005