Mathématiques 416-426-436
Définition
Homothétie: C'est un agrandissement ou une réduction d'une figure selon un rapport donné.
Homologue: Dans le contexte présent, cela fait référence aux mêmes segments et aux mêmes angles entre deux triangles.
Figures semblables
Deux figures sont semblables si:
elles conservent la même forme
les angles homologues sont congrus
les côtés homologues sont proportionnels
Exemple:
Les angles sont congrus
L'angle A est congru à l'angle A'
L'angle B est congru à l'angle B'
L'angle C est congru à l'angle C'
Les côtés homologues sont proportionnels
Le rapport doit être le même pour tous les côtés.
Similitude
Une similitude est une transformation du plan qui associe des figures semblables.
Cette transformation du plan est soit:
 |
Une homothétie ou une composée d'homothéties (h o h) |
|
Une isométrie ou une composée d'isométries (r o t) |
|
Une composée d'isométries et d'homothéties (r o h, h o s o t) |
Rapport de similitude
Le rapport de similitude de deux figures semblables est égal au quotient de deux longueurs homologues. Ce rapport est positif. Ce rapport est désigné par la lettre K.
Exemple:
Les angles sont congrus
L'angle A est congru à l'angle A'
L'angle B est congru à l'angle B'
L'angle C est congru à l'angle C'
Les côtés homologues sont proportionnels
Alors le rapport de similitude est égal à 3 (K=3).
Relations entre les rapports
Le rapport entre les mesures des angles homologues est 1.
Le rapport entre les mesures de longueurs des segments homologues est égal au rapport de similitude. (voir exemple pour les figures semblables et pour le rapport de similitude ci-haut)
Le rapport entre les périmètres est égal au rapport de similitude.
Le rapport entre les aires est égal au carré du rapport de similitude.
Exemple:
Rapport des aires
de chaque côté cela donne:
Le rapport entre les volumes est égal au cube du rapport de similitude.
Exemple:
Rapport des volumes
lorsqu'on
isole le K en faisant la racine
cubique de chaque côté, on
obtient: 
Figures équivalentes
Deux figures sont équivalentes si elles ont la même aire,
Exemple: un rectangle de 8 cm x 3 cm aura une aire de 24 cm2
Un rectangle de 12 cm x 2 cm aura une aire de 24 cm2.
Ces deux rectangles sont équivalents.
Solides équivalentes
Deux solides sont équivalents si ils ont le même volume,
Exemple:
Un prisme à base carré de 10 cm x 5 cm x 5 cm aura un volume de 250 cm3
Un prisme à base rectangulaire de 12,5 cm x 10 cm x 2 cm aura un volume de 250 cm3.
Ces deux prismes sont équivalents.
Généralité
Si deux triangles sont semblables, alors il existe trois paires d'angles homologues isométriques et trois paires de côtés homologues proportionnels.
Supposons les deux triangles suivant:
L'angle A est congru à l'angle D
L'angle B est congru à l'angle E
L'angle C est congru à l'angle F
On pourrait même faire le lien avec le rapport de similitude:
K =
Par contre, il n'est pas nécessaire de vérifier les trois paires d'angles homologues isométriques et trois paires de côtés homologues proportionnels pour prouver que les deux triangles sont semblables. Il est suffisant de vérifier trois paires d'éléments, mais à certaines conditions. C'est ce que l'on appelle les trois cas de similitude.
Cas de similitude
1er cas
Deux triangles qui ont un angle congru compris entre des côtés homologues proportionnels sont semblables
C'est le cas C-A-C
Par exemple:
Les côtés sont proportionnels:
L'angle A est congru à l'angle D.
2ème cas
Deux triangles qui ont deux angles homologues congrus sont semblables.
C'est le cas A-A
Par exemple:
L'angle A est congru à l'angle D.
L'angle C est congru à l'angle F.
3ème cas
Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnels sont semblables.
C'est le cas C-C-C
Par exemple:
Dernière mise à jour effectuée le 4 janvier 2006