Fonction quadratique
Formules importantes pour la fonction quadratique
Avec la
forme générale
f(x) = ax2 + bx + c
1- Orientation de la parabole
Si a> 0, la parabole sera ouverte vers le haut
Si a<0, la parabole sera ouverte vers le bas
2- Pour trouver les zéros, il existe deux façons
Important: L'équation doit toujours être égale à zéro avant d'appliquer la formule.
1. Par la factorisation (différence de carré, trinôme carré parfait, etc.)
2. À l’aide de la formule quadratique
X
=
Si b2 – 4ac > 0, il y a 2 zéros distincts
Si b2 – 4ac = 0, il y a 1 zéro (double zéro)
Si b2 – 4ac < 0, il n’y a aucun zéro
3- Coordonnée importante
Sommet de la
parabole = (
,
)
Exemple:
Soit le polynôme f(x) = x2 -3x -4
1- Pour l'orientation de la parabole, elle sera ouverte vers le haut car le paramètre a=1 est positif.
2- Pour trouver les zéros, il suffit de mettre le polynôme égale à 0.
x2 -3x -4 = 0
a) On peut factoriser et cela donnera (x+1)(x-4) = 0
Donc x=-1 et x=4
b) où à l'aide de la formule quadratique, cela donnera
==>
==> 
==>
Donc, x = -1 et x = 4
3- Le sommet de la parabole est (3/2, -25/4)
Avec la forme canonique
f(x) = a(x – h)2 + k.
1- Orientation de la parabole
Si a> 0, la parabole sera ouverte vers le haut
Si a<0, la parabole sera ouverte vers le bas
2- Formule pour trouver les
paramètres h et k à partir de la forme générale
h =
k =
ou k = f(h)
3- Pour trouver les zéros, on utilise la formule suivante :
Important: L'équation doit toujours être égale à zéro avant d'appliquer la formule.
X =
Si
> 0, il y a 2 zéros distincts
Si
= 0, il y a 1 zéro (double zéro)
Si
< 0, il n’y a aucun zéro
4- Coordonnée importante
Sommet de la parabole = (h, k)
Exemple 1:
Soit le polynôme f(x) = -2(x-3)2 + 8
1- Pour l'orientation de la parabole, elle sera ouverte vers le bas car le paramètre a=-3 est négatif.
2- Le paramètre h=3 et le paramètre k=8
3- Pour trouver les zéros, il suffit d'appliquer la formule X =
donc x = 1 et x = 5
4- Le sommet est (3,8)
Exemple 2:
Soit le polynôme f(x) = 2(x+5)2 -18
1- Pour l'orientation de la parabole, elle sera ouverte vers le haut car le paramètre a=2 est positif.
2- Le paramètre h=-5 et le paramètre k=-18. Faites attention au signe du paramètre h.
Dans l'équation f(x) = a(x – h)2 + k, le h est positif!
3-
Pour trouver les zéros, il suffit d'appliquer la formule X =
donc x = -2 et x = -8
4- Le sommet est (-5,-18)
| Propriétés | Forme générale | Forme canonique |
| Formule | f(x) = ax2 + bx + c | f(x) = a(x – h)2 + k. |
| Domaine f | R | R |
| Image f | Si a > 0
[ Si a < 0
] –¥ , |
Si a > 0 [k, +¥[ Si a < 0 ] –¥ ,k] |
| Axe de symétrie | x =
|
x = h |
| Sommet | (
,
) |
(h,k) |
| Maximum (si a <0) et minimum (si a > 0) de f |
|
k |
| Zéros x1 et x2 |
|
|
| Ordonnée à l'origine | c | Mettre X=0 |
| Variations | si a > 0
décroissante sur ] –¥,
Si a<0 croissante sur
] –¥,
|
si a > 0 décroissante sur ] –¥, h] et croissante sur [h,+¥[ Si a<0 croissante sur ] –¥, h] et décroissante sur [h,+¥[
|
| Signe | Intervalle en fonction du signe du paramètre a et des zéros x1 et x2 | Intervalle en fonction du signe du paramètre a et des zéros x1 et x2 |
Influence des paramètres a, b, h, k
Paramètre a
si a > 1 Étirement vertical
0 < a < 1 Rétrécissement vertical
a < 0 Réflexion sur l'axe des X
Paramètre b
si b > 0 Translation oblique dans ce sens /
si b < 0 translation oblique dans ce sens \
Paramètre h
si h > 0 Translation vers la droite de h unités
si h < 0 Translation vers la gauche de h unités
Paramètre k
si k > 0 Translation vers le haut de k unités
si k < 0 Translation vers le bas de k unités
Transformation
Transformation d'une règle de la forme canonique à la forme générale.
f(x) = -2(x-3)2 + 8 Voici la forme canonique
f(x) = -2(x2 - 6x +9) + 8
f(x) = -2x2 + 12x -18 + 8
f(x) = -2x2 + 12x -10 Voici la forme générale
Transformation d'une règle de la forme générale à la forme canonique.
f(x) = 3x2 + 12x + 15 Voici la forme générale
La forme canonique est représenté comme ceci: f(x) = a(x – h)2 + k.
La valeur de a est la même pour la forme générale et la forme canonique.
Il reste à trouver les paramètres h et k.
a = 3
h =
= -12/6 = -2
k =
=
(180-144)/12 = 36/12 = 3
Donc, on remplace les paramètres a, h et k par les valeurs trouvées.
f(x) = 3(x+2)2 + 3 Voici la forme canonique
Combinaisons de fonctions
Pour faire une combinaison de fonction, il suffit d'exécuter l'opérateur demandé.
Supposons
f(x) = 3x2 + 12x + 15 g(x) = 14x + 5 h(x) = 2
f + g = (3x2 + 12x + 15) + (14x + 5) = 3x2 + 26x + 20
f - h = (3x2 + 12x + 15) - (2) = 3x2 + 12x + 13
g * h = (14x + 5) * (2) = 28x + 10
f - g = (3x2 + 12x + 15) - (14x + 5) = 3x2 + 12x + 15 - 14x - 5 = 3x2 -2x + 10
Comment trouver la règle d'une fonction quadratique
Il existe deux façons
1- Si vous avez le sommet et un point, vous allez trouver la règle avec la forme canonique
Exemple:
Coordonnées
Sommet (2,3) et un point (4,-9)
Formule utilisée
f(x) = a(x – h)2 + k
Calcul
f(x) = a(x – 2)2 + 3 Commençons par remplacer le sommet dans la formule
y = a(x – 2)2 + 3 f(x) = y car c'est la même chose
-9 = a(4 – 2)2 + 3 Remplaçons x et y par la coordonnées (4,-9)
-9 = 4a + 3
a = -3
Règle
f(x) = -3(x – 2)2 + 3
2- Si vous avez les deux zéros et un point
vous allez utilisez la formule suivante f(x) = a(x2 - Sx + P)
où S est la somme des deux zéros et P est le produit des deux zéros.
Exemple:
Coordonnées
Soient les deux zéros (-3,0), (5,0) et un point (2,-15)
Formule utilisée
f(x) = a(x2 - Sx + P)
Calcul
S = -3 + 5 = 2
P = -3*5 = -15
f(x) = a(x2 - 2x - 15) Remplaçons S et P par les valeurs trouvées
y = a(x2 - 2x - 15) f(x) = y car c'est la même chose
-15 = a(22 - 2*2 - 15)
-15 = a(4 - 4 - 15)
-15 = -15a
a = 1
Règle
f(x) = x2 - 2x - 15
Dernière mise à jour effectuée le 6 janvier 2006