Généralité

Définition: Toute fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle.

Relation entre la forme exponentielle et la forme logarithmique.

Forme exponentielle                                                    Forme logarithmique

             X = C^Y                                                            Y = log_c  X

            X : Puissance                                                  X : Argument

            C : Base                                                         C : Base

            Y : Exposant                                                   Y : Logarithme

Y = log_c  X  se lit comme suit : le logarithme de X à la base c.

Bref, le logarithme de Y = log_c  X est l’exposant qu’il faut donner à C pour obtenir

la valeur X.

Base

Les deux bases les plus utilisées

1-     La base 10.

a.       Le logarithme décimal en base 10 s’écrit log₁₀  N.

b.      Il peut s’écrire log N.  On omet d’écrire la base lorsqu’elle est 10.

2-     La base e.

a.       Le nombre irrationnel e vaut approximativement 2,7182818284.

b.      Le logarithme naturel dont la base est e s’écrit ln N.

c.  ln peut aussi s'écrire log_e . 

Exercice:

Trouvez X.

1. log₂32 = X

2. log₃81 = X

3. log_1/28 = X

Solution:

Transformer en équation exponentielle

1. 2^X = 32  =>  2^X = 2⁵  => X=5

2. 3^X = 81  =>  3^X = 3⁴  => X=4

3. (1/2^)X = 8  =>  (1/2)^X = 2³  => (1/2)^X = (1/2^)-3  => X = -3

Loi du logarithme

1-     Loi du logarithme d’un produit.

 Log_a MN = Log_a M + Log_a N

2-     Loi du logarithme d’un quotient

 Log_a M/N = Log_a M - Log_a N

3-     Loi du logarithme d’une puissance

 Log_a M^N =  NLog_a M

4-    Loi du changement de base

 Log_c M =

En général, la valeur de s sera 10 car on pourra se servir de la calculatrice.

Les trois premières lois sont aussi valable pour ln.

Exercice:

Écrire sous forme logarithmique sans exposant et sans fraction.

    1-     log₆ 6x7 =

    2-     log₇ 42/23 =

    3-     log₄ 6³ =

4- log₃5 + log₃8 =

Solutions :

    1-     log₆ 6 + log₆ 7

    2-     log₇ 42- log₇ 23

    3-     3x log₄ 6

    4- log₃5x8 = Log₃40

Résolution d'une équation exponentielle

On va se servir de ceci

Pour m>0 et n>o

m = n  =>  log_cm = log_cn

Autrement dit, on met un log₁₀ à gauche et à droite de l'équation lorsque l'on veut résoudre une équation car la calculatrice considère seulement la base 10 pour le log.

De façon générale, la méthode de résolution d'une équation exponentielle à une variable consiste à:

1- Ramener l'équation exponentielle à l'égalité des 2 membres strictement positif

2- Appliquer la propriété m = n  =>  log_cm = log_cn    avec c=10.

3- Appliquer les lois des logarithmes et des équations pour isoler la variable.

Exemple:

3^x-4 + 3 = 30

Voici les étapes.

1. 3^x-4  = 27

2. log3^x-4 = log27  (en base 10)

3. (x-4)log3 = log27

        (x-4) = log27/log3

        (x-4) = 3  (après avoir utilisé la calculatrice pour trouver le terme de droite)

        x = 7

Réciproque

La réciproque d'une fonction logarithmique est une fonction exponentielle.

f(x) = log₇ X

Y =  log₇ X        Car f(x) = Y

X =  log₇ Y        On intervertit les variables

7^X = Y              On écrit sous forme exponentielle

Alors, f(x)^-1 = 7^X

Graphique

Pour Y=log_c X

Si C>1, la fonction sera croissante.

Par exemple, dans le graphique ci-dessous, c=5.

Si 0 < c < 1, la fonction sera décroissante.

Par exemple, dans le graphique ci-dessous, c=1/2

Première observation

Le logarithme de 1 est 0.

    log_c 1 = 0  car  c⁰ = 1

    Coordonnée (1,0)

Deuxième observation

Le logarithme de la base est 1.

    log_c c = 1  car  c¹ = c

    Coordonnée (c,1)

Troisième observation

Le logarithme de l'inverse de la base est -1.

    log_c 1/c = -1  car  c^-1 = 1/c

    Coordonnée (1/c,-1)

Quatrième observation

    log_c 0 n'existe pas.  Donc X=0 est une asymptote.

Exercice:

Calculer:

1. log₂32 + log₄4 - log₆1

2. log₅5⁶ + log₄4x16 - log₈(1/8)

3. log₂30 - log₂5 

Solution:

1. 5 + 1 - 0 = 6

2. 6xlog₅5 + log₄4 + log₄16 - log₈(1/8)= 6 + 1 + 2 - (-1) = 10

3. log₂(30/5) = log₂6  Avec la loi du changement de base =>  log6/log2 = 2,584962501

Fonction logarithmique transformée

Les paramètres a,b,h,k agissent de la même façon sur la fonction logarithmique que sur une fonction réelle.

f(x) = alog_cb(x-h) + k

si:

a>1    Étirement vertical

0<a<1  rétrécissement vertical

-a        réflexion par rapport à l'axe des X

b>1        Étirement horizontal

0<b<1    rétrécissement horizontal

-b        réflexion par rapport à l'axe des Y

h > 0  Translation vers la droite de h unités

h < 0  Translation vers la gauche de h unités

k > 0  Translation vers le haut de k unités

k < 0  Translation vers le bas de k unités

x=h est l'asymptote.

Résolution d'une fonction logarithmique

Pour résoudre une équation logarithmique, il y a une méthode en 5 points à utiliser.

1. Déterminer les restrictions (car log 0 n'existe pas)

2. Écrire l'équation à l'aide d'un seul logarithme.

3. Transformer l'équation sous la forme exponentielle.

4. Déterminer la ou les valeur(s) de X.

5. Valider la ou les solution(s) par rapport aux restrictions.

Exemple:

Résoudre  2log₃(2(x+5)) = 6

Voici les étapes.

1. 2(x+5)>0  =>  x > -5

2. 2log₃(2(x+5)) = 6  =>  log₃(2(x+5)) = 3

3. 3³ = 2(x+5)

4. 27 = 2x + 10 => 27 - 10 = 2x =>  2x = 17 =>  x=8,5

5. Vérifions x > -5.  Est-ce que  8,5 > -5?  Oui  

Donc X = 8,5