La fonction exponentielle

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Exponentielles

Loi des exposants

1. a^m x aⁿ = a^m+n

2. a^m ¸ aⁿ = a^m-n

3. (a^m)ⁿ =  a^mn  

4. 

Fonction de base

" c>0 et c ¹ 1, la règle est f(x) = c^x

Où c est appelé la base et x est appelé l'exposant.  La courbe passera toujours au point (0, 1) et l'asymptote sera égale à y=0.

Couples importants pour construire un graphique: (-1, 1/c), (0,1), (1,c).

Exemple avec  f(x) = 2^x

De plus, si c>1, la fonction sera croissante (courbe brune). Si  0<c<1, la fonction sera décroissante (courbe bleue).

Fonction exponentielles transformées

f(x) = ac^b(x-h) + k

L'asymptote sera y=k

Fonction exponentielles transformées

f(x) = ac^bx + k

L'asymptote sera y=k

La courbe passera par la coordonnée (0, a + k)

Influence des paramètres

Analysons le paramètre a avec f(x) = c^bx

Influence du signe sur le paramètres a

a positif (courbe bleue)

a négatif ==> réflexion par rapport à l'axe des x (courbe rouge)

b  positif (courbe bleue)

b négatif ==> réflexion par rapport à l'axe des y (courbe rouge)

Analysons le paramètre b avec f(x) = c^bx

Pour le paramètre h

    s'il est positif ==> translation horizontale de h unités vers la droite

    s'il est négatif ==> translation horizontale de h unités vers la gauche

Pour le paramètre k

    s'il est positif ==> translation horizontale de h unités vers la haut

    s'il est négatif ==> translation horizontale de h unités vers le bas

Propriétés de la fonction exponentielle

Domaine: R

image:  si a<0  ]–¥, k [

                si a>0    ]k, +¥[

Zéro: Il y en a si a<0 et k>0  ou  a>0 et k<0

Extremum: Aucun

Signe: Relatif à l'existence des zéros

Variations: Croissante ou décroissante

Réciproque: C'est une fonction logarithmique

Formules pratiques

Lorsque l'on parle d'augmentation ou de diminution en terme de pourcentage, les formules utilisées sont les suivantes:

Si on parle d'un événement qui se produit une fois par année

f(x) = C_o(1+i)^x  où C_o est la valeur initial, i est le pourcentage, la base (1+i) est l'augmentation et x est le nombre d'année.

f(x) = C_o(1- i)^x  où C_o est la valeur initial, i est le pourcentage, la base (1- i) est la diminution et x est le nombre d'année.

Si on parle d'un événement qui se produit plusieurs fois par année

f(x) = C_o(1+i/t)^tx 

C_o est la valeur initial

La base (1+i/t) est l'augmentation en fonction d'une proportion i divisé par t qui représente le nombre de fois par année.

L'exposant tx représente le nombre de fois (t) que l'événement se produit par année multiplié par le nombre d'année (x).

Commentaire:

Les problèmes peuvent variés ainsi, au lieu d'utiliser les années, on peut utiliser les heures, les jours, les mois.

Exemple 1:  On investit 1000$ à un taux d'intérêt i = 10% par année.

On utilise la formule f(x) = C_o(1+i)^x .  Alors f(x) = 1000(1,10)^x

Dans 8 ans, le montant investit aura comme valeur: f(8) = 1000(1,10)⁸ = 2143,59$

Exemple 2:  On investit 1500$ à un taux d'intérêt i = 6% composé 2 fois par année.

On utilise la formule f(x) = C_o(1+i/t)^tx  . 

t = 2, car c'est 2 fois par année.

Alors f(x) = 1500(1+0,06/2)^2x = 1500(1,03)^2x

Dans 12 ans, le montant investit aura comme valeur: f(12) = 1500(1,03)²⁴  = 3049,19$

Exemple 3:  Une population de 14500 habitants en 2005 diminue de i = 3% par année.

On utilise la formule f(x) = C_o(1- i)^x  .  Alors f(x) = 14500(1 - 0,03)^x = 14500(0,97)^x

Dans 6 ans, la population sera de: f(6) = 14500(0,97)⁶  = 12078,09 => 12079 habitants

Règle d'une fonction exponentielle

Comment trouver la règle d'une fonction exponentielle.

f(x) = ac^bx

a = Valeur initiale

c = le facteur multiplicatif

b = le rapport entre le nombre de fois que la quantité est multipliée durant une période de temps et la durée de cette période.

Exemple: Au début d'une expérience, il y avait 15 bactéries.  Depuis, l'augmentation des bactéries double tous les 4 heures.

a= 15

c = 2  (double)

b = 1/4 (une fois tous les 4 heures.  Dans 4 heures, le nombre de bactéries aura doublé)

f(x) =

Validation: si x=4 heures, f(4) = =15*2 = 30.  Donc, dans 4 heures, le nombre de bactéries aura bel et bien doublé.

Équations exponentielles

Il suffit d'utiliser les propriétés des exposants pour simplifier une expression.

Par exemple:

8*2^x+4 = 64

2^x+4 = 8  on divise par 8 de chaque côté

2^x+4 = 2³  On transforme le 8 pour obtenir une forme exponentielle en base 2.

Rendu ici, l'égalité des bases entraîne l'égalité des exposants

x+4 = 3

x = -1

Dernière mise à jour effectuée le 10 janvier 2006