Les fonctions réelles

Fonction linéaire

Sa règle est f(x) = mx + b
Son graphique est une droite oblique passant par l’ordonnée à l’origine.
Son domaine est R.
Son codomaine (image) est R.
Elle a un seul zéro
Elle n’a ni maximum, ni minimum.
Elle est croissante sur tout son domaine si m>0.  Si m<0, elle est décroissante
Le signe de la fonction dépend du signe de m.

Exemple :

Sa règle est f(x) = x
Son graphique est une droite oblique passant par l’origine.
Son domaine est R.
Son codomaine (image) est R.
Elle a un seul zéro : 0
Elle n’a ni maximum, ni minimum.
Elle est croissante sur tout son domaine.
Elle est négative sur ] –¥, 0] et positive sur [0, +¥ [

Fonction quadratique

Fonction quadratique transformée : f(x) = a(x – h)² + k.  Son graphique est une parabole
Son domaine est R
Son codomaine (image) est [k, +¥ [ si a>0  ou   ] -¥, k[ si a<0 
Zéro : formule quadratique
Son minimum ou maximum est k
Variation : elle est croissante ou décroissante sur ] –¥, h] et croissante ou décroissante sur [h, +¥ [
Signe : Cela dépend des zéros.

Axe de symétrie : x = h

Si a est positif, la parabole sera ouverte vers le haut (sourire).  Si a est négatif, la parabole sera ouverte vers le bas (triste).

Exemple :

Sa règle est f(x) = x².  Son graphique est une parabole
Son domaine est R
Son codomaine (image) est R₊  ou [0, +¥ [
Elle a un zéro : 0
Son minimum est 0
Variation : elle est décroissante sur ] –¥ 0] et croissante sur [0, +¥ [
Signe : elle est positive sur tout son domaine.

Axe de symétrie : x = h = 0

Forme canonique : f(x) = (x – h)² + k

Fonction valeur absolue

Fonction valeur absolue transformée: f(x)= a | x-h | + k

Sommet (h,k) est le minimum (si a est positif) ou le maximum (si a est négatif)

Son domaine est R
Son codomaine (image) est [k, +¥ [ si a>0  ou   ] +¥, k[ si a<0 
Elle peut avoir aucun, un ou deux zéros.

Son minimum ou maximum est k.
Variation : elle est croissante ou décroissante sur ] –¥, h] et croissante ou décroissante sur [h, +¥ [
Signe : Cela dépend des zéros.

Sommet (h,k) est le minimum (si a est positif) ou le maximum (si a est négatif)  

Exemple :

Sa règle est f(x) =
Son domaine est R
Son codomaine (image) est [0, +¥ [
Elle a un zéro : zéro
Son minimum est : zéro
Variation : elle est décroissante sur ] –¥ 0] et croissante sur [0, +¥[
Signe : elle est positive sur tout son domaine, nulle en zéro

Axe de symétrie : x = h = 0

Fonction racine carrée

Fonction racine carrée transformée : f(x) = a + k

Son graphique est une demi-parabole
Son domaine est [h, +¥ [
Son codomaine (image) est R₊  ou [k, +¥ [
Elle peur avoir un zéro
Son minimum ou son maximum dépend du signe de a.  Si a<0, elle a un maximum.  Si a>0, elle a un minimum.
Variation : elle est croissante ou décroissante dépendant du signe de a et de b.

Signe : Cela varie s’il y a un zéro ou non.

Sommet (h,k)  est le début de la fonction (courbe)

Exemple : f(x) =

Son graphique est une demi-parabole
Son domaine est [0, +¥ [
Son codomaine (image) est R₊  ou [0, +¥ [
Elle a un zéro : 0
Son minimum est 0
Variation : elle est croissante sur [0, +¥[
Signe : elle est positive sur [0, +¥ [.

Sommet (0,0)  est le début de la fonction (courbe)

Fonction rationnelle

Forme générale

f(x) = avec cx+d ≠ 0

Fonction rationnelle transformée

f(x) =    avec b(x-h) ≠ 0
Son domaine est ] –¥, -d/c] U [-d/c, +¥[
Son codomaine (image) est ] –¥, a/c] U [a/c, +¥[

Elle a un zéro : C'est possible en faisant f(x)=0.
Elle n’a pas de minimum ni de maximum. 
Variation : Habituellement, c’est un intervalle qui contient l’asymptote et qui est pareille comme l’intervalle du domaine.
Signe : Cela dépend de l’asymptote et du zéro.

Formule pour trouver les asymptotes :

asymptotes :  x = -d/c    y = a/c

Centre de l’hyperbole (avec forme canonique) C(h,k)

Exemple :

Règle :  f(x) =

Asymptote : x = -2, y = 1

Dom f :  ] –¥, -2] U [-2, +¥[

Ima f: ] –¥, 1] U [1, +¥[

Zéro : -1

Variation : Croissance sur ] –¥, -2] U [-2, +¥[

Signe : positif sur ] –¥, -2] U [-1, +¥[

            Nulle à X=-1

            Négatif sur ]-2, -1[

Dernière mise à jour effectuée le 7 décembre 2005