Cercle trigonométrique

Définition:

Le cercle trigonométrique est centré à l'origine du plan cartésien et son rayon est égale à 1.

Équation:

L'équation du cercle trigonométrique:  X2 + Y2 = 1

Point trigonométrique:

C'est un point P(t) = (X, Y) situé sur le cercle trigonométrique et qui vérifie l'équation X2 + Y2 = 1.

Si t est positif, le point P(t) sera situé sur le cercle en se déplaçant dans le sens anti-horaire à partir du point (1,0).  Le déplacement jusqu'au point P(t) sera la mesure de l'arc de longueur t.

Le point P(0) est situé à la coordonnée (1, 0) du cercle trigonométrique.

t: angle en radian ou longueur d'un arc.

 

Exemple:

Déterminer si ces points sont situés sur le cercle trigonométrique

1-  (1/4, 3/4)

2-  (4/3, 3/4)

Solution:

1- Non car avec la formule X2 + Y2 = 1,  (1/4)2 + (3/4)2 ≠ 1

2- Non car 4/3 ≥ 1

 

Les points remarquables dans le premier quadrant

 

Le cercle trigonométrique

 

Un tour complet vaut 2∏.  Chaque quart de tour vaut ∏/2.

Pour trouver les points sur le cercle, il suffit d'utiliser la formule

K*∏/2, pour tout K élément des entiers.

Exemple avec ∏/2:

pour K=1 on a ∏/2

pour K=2 on a 2*∏/2 = ∏

pour K=3, on a 3*∏/2

pour K=4, on a 4*∏/2 = 2∏

 

Utiliser la formule K*∏/4, pour tout K élément des entiers.

Exemple avec ∏/4:

pour K=1 on a ∏/4

pour K=2 on a 2*∏/4 = ∏/2

pour K=3, on a 3*∏/4

pour K=4, on a 4*∏/4 = ∏

etc.

 

Utiliser la formule K*∏/6, pour tout K élément des entiers.

Exemple avec ∏/6:

pour K=1 on a ∏/6

pour K=2 on a 2*∏/6 = ∏/3

pour K=3, on a 3*∏/6 = ∏/2

pour K=4, on a 4*∏/6 = 2∏/3

etc.

 

Comparer les exemples ci-dessus avec le cercle trigonométrique.

 

Remarque: Pour le point P(t), on obtient le même point trigonométrique en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 2∏ à la valeur de t.

Exemple:

P(∏/3) = P(-5∏/3)   car -2∏ + ∏/3 = -5∏/3 et cela correspond au même point.

P(-7∏/4) = P(∏/4)   car 2∏ - 7∏/4 = ∏/4 et cela correspond au même point.

P(∏/4) =  P(9∏/4)  car 2∏ + ∏/4 = 9∏/4 et cela correspond au même point.

 

De façon générale,  P(t + 2∏*n) = P(t), si n est un entier.

Exemple:

P(9∏/4) = P(2∏ + ∏/4) = P(∏/4)

P(23∏/2) = P(20∏/2 + 3∏/2) = P(10∏ + 3∏/2 ) = P(3∏/2) car 10∏ = 5 tours complet

P(25∏/4) = P(24∏/4 + ∏/4) = P(6∏ + ∏/4 ) = P(∏/4)

P(41∏/6) = P(36∏/6 + 5∏/6) = P(6∏ + 5∏/6 ) = P(5∏/6)

P(-13∏/4) = P(-2∏ - 5∏/4) = P(-5∏/4)

 

Exercice:

Dans quel quadrant se situe

  1. P(3)

  2. P(11∏/18)

  3. P(3∏/5)

  4. P(11∏/10)

Solution:

  1. P(3) = P(171o) => alors il se situe 2ième quadrant

  2. P(11∏/18) > P(∏/2) alors il se situe dans le 2ième quadrant

  3. P(3∏/5) > P(∏/2) alors il se situe dans le 2ième quadrant

  4. P(11∏/10) > P(∏) alors il se situe dans le 3ième quadrant

 

Les coordonnées des points trigonométriques

et voici le cercle trigonométrique avec les points trigonométriques et les coordonnées de chacun des points.

 

Dernière mise à jour effectuée le 11 février 2006